Fani Vidović i Ivana Sedlar

Sažetak

Matematika je prisutna u svakodnevnom životu čovjeka. Ako samo razmislimo na trenutak, sjetit ćemo se raznolikosti njene uporabe: računanje vremena, podmirenje mjesečnih bankovnih obveza, razumijevanje i izračunavanje količina, aktivnosti u kuhinji, trgovini, banci itd. Važno je razlikovati pojedince kojima matematika nije „jača strana” od onih koji imaju diskalkuliju. Zbog neprepoznatih i specifičnih poteškoća u učenju matematika može postati omraženi nastavni predmet. Diskalkulično dijete nema “osjećaj za brojeve”, ne može procijeniti čak ni male količine. Slabost pamćenja, i dugoročnog i kratkoročnog, velik je nedostatak zbog kojeg učenik ne može točno zapamtiti postupke računanja, bez obzira koliko puta pokušao sve naučiti napamet. U ovom radu su spomenuti razni oblici razvojne diskalkulije, navedene su specifične i neuobičajene greške koje upućuju na istu. Opisane su aktivnosti s različitim didaktičkim materijalima koje možemo provesti s učenicima koji imaju diskalkuliju kako bi im olakšali razumijevanje i povezivanje matematičkih koncepata, a učenje bilo lakše i zabavnije.

Ključne riječi: matematika, poteškoće u učenju, diskalkulija, pomoć, aktivnosti.

Uvod

Diskalkulija je djelomičan poremećaj procesa usvajanja obrazovnih sadržaja iz matematike. Može se pojavljivati u svim ili samo određenim područjima matematike. Učenik pri tome pokazuje napredak, ali mnogo sporije od svojih vršnjaka i neadekvatno svojoj mentalnoj dobi. Teškoće mogu biti lake, umjerene i teške, pa prema tome razlikujemo djelomičnu ili potpunu matematičku nesposobnost, odnosno diskalkuliju ili alkalkuliju. Kod djece se najčešće radi o razvojnoj diskalkuliji. Teškoće se prepoznaju čim je dijete počelo upoznavati pojam broja i obavljati elementarne računske operacije. Da bismo mogli potvrditi diskalkuliju kod učenika neophodno je ustanoviti da je njegova matematička dob znatno ispod prosjeka dok je mentalna dob normalna. Osnovne oblike razvojne diskalkulije Ladislav Košč je 1970. definirao i opisao prema simptomima koje je uočavao kod djece. Oblici razvojne diskalkulije su verbalna, praktognostička, leksička, grafička, ideognostička i operacijska diskalkulija.

Verbalna diskalkulija

Učenik s verbalnom diskalkulijom veoma teško usvaja matematički rječnik: imenovanje znamenki, računskih simbola i radnji, te imenovanje količine i broja predmeta. Razlikujemo senzornu i motoričku verbalnu diskalkuliju. Verbalna diskalkulija vezana je uz poteškoće u prepoznavanju usmeno izgovorenog broja ukoliko nema ispred sebe konkrete čija količina odgovara tom broju. Na primjer učenik ispravno zapisuje i čita broj 3, ali nije u stanju pokazati tri prsta, nacrtati tri kružića i precrtati tri trokuta. Ukoliko nema teškoća slušne percepcije, ispravno će izbrojati udarce koje čuje, ali neće shvatiti uputu da pokuca zadani broj puta.

Praktognostička diskalkulija

Učenici s ovim oblikom diskalkulije teško prepoznaju čega ima više, a čega manje, što je veće, a što manje, teško mogu poredati likove po veličini te pokazati koji je od likova manji, odnosno veći.

Leksička diskalkulija (numerička diskalkulija)

Ovaj oblik diskalkulije uzrokuje nemogućnost u čitanju matematičkih simbola, odnosno znamenki, brojeva, računskih znakova i zapisanih matematičkih postupaka.

Grafička diskalkulija

Razumiju značenje broja ali ne mogu označiti broj promatranih predmeta. Imaju poteškoće u pisanju matematičkih simbola, prepisivanju znamenaka i pisanju diktata.

Ideognostička diskalkulija

Očituje se u nemogućnosti računanja u sebi zadataka primjerenih za svoju dob. Mogu čitati i pisati brojeve no ne razumiju što su napisali. Ne mogu izreći količinu nečega te nastaviti niz jer ne razumiju po kojem pravilu je taj niz nastao.

Operacijska diskalkulija

Nemogućnost je izvođenja temeljnih računskih radnji, zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Učenik zamjenjuje jednu računsku radnju drugom ili pojednostavljuje način računanja te dugo koristi prste u računanju umjesto da računa u sebi ili na papiru. Ovaj oblik je najteže identificirati, jer je potrebno pratiti kako učenik dolazi do rezultata jer ne zna objasniti postupak računanja.

Glavni dio

Za razliku od čitanja, matematika uključuje kompliciranije vještine. Za pravilno čitanje potrebne su vještine koje zahtijevaju fonološku osnovu, onu koja se odnosi na govorne glasove i učenje dekodiranja. Matematika ovisi o više vrsta vještina, a to su: spremanje brojeva iz kratkotrajne radne memorije u dugotrajnu memoriju, o brojanju i shvaćanju veličine broja, vizualno-prostornoj vještini te planiranju i organiziranju. Kratkotrajna radna memorija vrlo je važna jer zahtjeva mogućnost „zadržavanja“ brojeva u glavi i istovremeno računanje. Mentalno računanje bitno je u pisanim matematičkim zadacima. Istraživanja su dokazala da mnogi učenici s diskalkulijom imaju problema s kratkotrajnom radnom memorijom. Teško usvajaju pravilno brojanje, „brojanje prema naprijed“, „brojanje unatrag“. Pogreške u procesu učenja matematike nisu rijetkost kod učenika, no učenici s diskalkulijom čine mnogo specifičnih i neuobičajenih pogrešaka.

Kako prepoznati diskalkuliju?

1. Neispravno čitanje brojeva i neispravna upotreba brojeva pri pisanju i računanju, zrcaljenje znamenaka ili redoslijeda znamenaka u višeznamenkastim brojevima.
2. Nemogućnosti prelaska na sljedeći korak u računanju nego uzastopno ponavljanje iste radnje. Primjerice ako su u prvom zadatku zadani zadatci koji iziskuju zbrajanje brojeva učenik će nastaviti zbrajati u svim ostalim zadatcima, iako se u zadatku to ne traži. Također, nakon što usvoji postupak u rješavanju određenog zadatka koristit će isti postupak tamo gdje to nije potrebno.
3. Stavljanje brojeva u uzajamno neprikladan prostorni položaj koje se očituje u zapisivanju brojeva u pisanom zbrajanju i oduzimanju te množenju i dijeljenju.
4. Pogrešno prepoznavanje simbola ili broja što rezultira netočno riješenom zadatku.
5. Izostavljanje nekih od ključnih koraka u zadatku. (proceduralne pogreške)
6. Slabo pamćenje i prepoznavanje dovodi do teškoća pri pamćenju niza brojeva.
7. Zbog usporenosti treba više vremena za rješavanje zadatka nego što je potrebno njegovim vršnjacima.
8. Nesnalaženje s novcem i poteškoće u vremenskoj organizaciji svakodnevnih aktivnosti.

Jedan od najboljih načina da pomognemo djeci koja imaju specifične teškoće u svladavanju matematike je upotreba različitog didaktičkog pribora i igara koji učenicima mogu uvelike olakšati razumijevanje i usvajanje matematičkih obrazovnih sadržaja.

1. Cuisenaireovi štapići

Jedno od najpopularnijih didaktičkih pomagala u osnovnim školama su Cuisenaireovi stapići koji naziv nose po svom izumitelju Georgesu Cuisenaireu. On je elementarnu aritmetiku poučavao pomoću raznobojnih drvenih štapića te je uočio kako boje mogu pomoći djeci s teškoćama u učenju. Komplet se sastoji se drvenih štapića raznih boja i veličina. Zbog toga je lako prepoznati dužinu štapića bez mjerenja i prebrojavanja jedinica. Najmanji bijeli štapić ima duljinu 1 cm, dok najveći narančasti ima duljinu 10 cm.

Zadatci:

Učenici trebaju složiti štapiće u obliku stepenica na stolu ili na poklopcu kutijice od štapića. Potrebno je vježbati brzo slaganje, počevši od najdužeg (narančastog) štapića, a zatim od najkraćeg (bijelog).

Združivanje broja i boje – Nakon što učenici nauče prepoznavati boje štapića. Potrebno je nasumce odabrati štapić i izreći njegov broj, najprije pomoću stepenica, a kasnije bez njih. Nakon savladane ove aktivnosti mogu reći boju i broj štapića koji je za jedan veći ili manji od odabranog štapića.

Uspoređivanje veličina – Učenik treba odabrati štapić, zatim pronaći veći štapić, važno je navoditi na zaključak da postoji više točnih odgovora. Nakon toga trebaju pronaći štapić koji je samo za jednu stepenicu ili jedinicu veći. Ovaj put postoji samo jedan točan odgovor. Mogu pronaći i manji štapić od odabranog ili manji za jednu stepenicu odnosno jedinicu.

Jednakosti, zbrajanje i oduzimanje, ­- Ovo je jedna od aktivnosti koju preporučuje prof. Sharma u svojoj brošuri Cuisenaire Rods and Mathematics Teaching (Cuisenaire štapići i poučavanje matematike) (1993). Potrebno je složiti bilo koja dva štapića tako da se dodiruju krajevima, a učenik mora pronaći jedan štapić iste dužine kao gornja dva zajedno. Tada je potrebno reći učenicima da su upravo napravili jednakost. Ta se jednakost može pročitati na razne načine: kao zbrajanje i kao oduzimanje. Treba im pokazati sve načine, skrećući pozornost na određeni štapić za vrijeme izgovaranja broja, a tek nakon toga tražiti od učenika da oni učine isto.

2. Stern blokovi

Stern blokovi nazvani su po učiteljici Catherine Stern koja ih je osmislila i koristila u nastavi matematike. Sadrže plastične ili drvene kockice koje predstavljaju jedinicu te štapića koji predstavlja deseticu. Stern blokovi vrlo su korisni za provođenje brojnih aktivnosti

pri učenju dekadskog brojevnog sustava te računskih operacija u samom tom sustavu.

• Pomoć su učenicima u slaganje nizova od manjeg prema većem i obratno.
• Olakšavaju razumijevanje pojmova za jedan veći, za jedan manji, prije (prethodnik), poslije (sljedbenik), između i jednako.
• Potiču učenike na zaključivanje da zbrajanje i oduzimanje s nulom bilo kojeg broja rezultira tim istim brojem.
• Navode učenike na shvaćanje da ako nekom broju pribrojimo broj 1 rezultat je sljedeći veći broj, ako broj 2 pribrojimo parnom broju rezultat je sljedeći veći parni broj te da ako broj 2 pribrojimo neparnom broju rezultat je sljedeći najveći neparni broj. (Isti je princip razumijevanja oduzimanja broja 1od nekog broja i oduzimanja broja 2 od neparnog broja.),
• Od velike su pomoći u imenovanju članova računskih operacija te razumijevanje veze zbrajanja i oduzimanja.

3. Dienesovi blokovi

Madžarski matematičar, učitelj i psiholog Zoltan Dyenesh osmislio je komplet drvenih ili

plastičnih blokova u istoj boji koji se sastoje od kocke, stupića, kvadratne pločice ili bloka.

Svi elementi Dienesovih blokova temeljeni su na broju 10.

Primjena Dienesovih blokova kao i prethodno navedenih u provođenje različitih aktivnosti pomaže učenicima s diskalkulijom u stvaranje modela koji razumiju kako bi ostvarili napredak od konkretnog prema apstraktnom stupnju razmišljanja.

Igre

Složi 5

Ciljevi igre:

• rastavljanje i pregrupiranju brojeva do 5
• razumijevanje da veći brojevi unutar sebe sadrže manje
• shvaćanje da postoje samo dva načina na koje se od cijelih brojeva može dobiti broj 5: 1 + 4 ili 2 + 3
• uočavanje svojstva komutativnosti u zbrajanju, npr. da je 1 + 4 isto što i 4 + 1

Svaki igrač stavlja tri karte na prazna polja na ploči, licem prema gore. Ostatak špila stavlja na sredinu stola, licem prema dolje. Kad je učenik na redu, pokuša “složiti 5” pomoću dvije karte, od njih tri. Ako te dvije karte daju 5, odlaže ih u svoju kutiju Složi 5. Tada dopunjava slobodna mjesta na svojoj ploči uzimajući dvije gornje karte sa špila tako da opet ima tri otvorene karte. Ako ne može složiti 5, uzima jednu kartu sa špila u sredini i pokušava je združiti s jednom od svoje tri karte, ili je stavi na dno špila ako je ne može iskoristiti. Kad su sve karte iskorištene, prebrojava se koliko karata ima svaki učenik i proglašava pobjednik.

Sakupljači neparnog i neparnog

Cilj igre:

• prepoznavanje neparnih i parnih brojeva do 10

Na početku igre potrebno je odrediti koji će igrač sakupljati parne, a koji neparne brojeve. Igrač koji sakuplja neparne brojeve počinje igru dobivanjem narančastog štapića koji predstavlja broj 10. Igrači zatim naizmjenično bacaju kocku i sakupljaju štapiće u skladu s brojem koji su dobili bacanjem. Štapić zadrži igrač koji je bacao kocku ili se dodjeljuje protivniku, ovisno o tome sakuplja li bacač parne ili neparne brojeve. Nakon tri kruga (ukupno 6 bacanja) igrači odrede pobjednika tako da manje štapiće prema njihovoj brojevnoj vrijednosti zamijene za narančaste kad god je moguće, a zatim prebroje koliko su sakupili.

Prekrij brojeve ili zatvori kutiju

Ciljevi igre:

• rastavljanje brojeva do 12 na što više različitih načina.
• uvježbavanje zbrajanja i pregrupiranja

Svaki igrač ima jedan set brojeva od 1 do 9. Igrač baca dvije kockice i zbroji ukupan broj točkica. Odabire dva broja iz svojeg seta čiji je zbroj jednak zbroju koji je dobio bacanjem kocaka i miče ih iz igre, prekrivanjem ili precrtavanjem. Isti igrač nastavlja tako dugo dok više nijedan broj ne može maknuti iz igre. Rezultat je broj preostalih neiskorištenih brojeva. Potom igra drugi igrač. Pobjednik je onaj igrač koji ima najmanji rezultat nakon tri kruga.

Kartice s brojevima

Zaključak

Stručnjaci smatraju da je diskalkulija neizlječiv, doživotni poremećaj, koji se može ublažiti. Stoga je važno otkriti ga što ranije kako bismo učeniku osigurali odgovarajuće tehnike podrške, dodatnu stručnu pomoć u školi, a po potrebi i terapiju kod odgovarajućih stručnjaka. Najvažnije je na vrijeme uvidjeti ovu teškoću u učenju kako bi se na vrijeme počelo s adekvatnom terapijom. Djeca s diskalkulijom kao i ostala djeca s poteškoćama u učenju zahtijevaju posebnu pozornost u procesu odgoja i obrazovanja. Nužno im je stoga osigurati posebnu brigu za vrijeme školovanja. Istraživanje diskalkulije još je u začetku, ali procijenjeno je da od diskalkulije pati oko 4-6 posto populacije. To znači, najmanje jedno dijete u svakom razredu.

Literatura

1. R. Bird, Diskalkulija: praktični priručnik, pomoć djeci s teškoćama u učenju matematike, 2009.
2. J. Bjelica, I. Galic-Jurišić i dr., DISLEKSIJA, disgrafija, diskalkulija i slične teškoće u čitanju, pisanju i učenju, Hrvatska udruga za disleksiju, 2007.
3. J. Bjelica, I. Posokhova i I. Galic-Jurišić, Priručnik o disleksiji, disgrafiji i sličnim teškoćama u čitanju, pisanju i učenju, 2009.
4. P. Corn, Cuisenaireovi štapići, Osječki matematički list 16 (2016), br. 1, 67–82.
5. I. Galić Jurišić, Diskalkulija – specifične teškoće u učenju matematike: Šta i kako dalje, 2001.
6. M. C. Sharma, Matematika bez suza, Lekenik: Ostvarenje (2001)
7. D. Glasnovic Gracin, Predmatematičke vještine, Matematika i škola, Vol. 55 (2010)